第1章 7．「図形」領域における教科書記述の研究

　四角形（台形、平行四辺形、ひし形、対角線）について

　昭和の四角形に関して言うと、単元の冒頭に、「身のまわりで、の形をしたものをさがしましょう。」という問いかけから導入したり、「細長く切った4本の厚紙のぼうを、スナップで止めて、四角形を作りましょう。」、「同じはばの細長い紙を、下の図のように切ってできる四角形は、どんな形でしょう。」といった導入課題で、本題に入る前に、いろいろ活動させている。
　これに対して、平成の教科書では、ドット図（ジェオボードのイメージ）を使って4本の直線を描かせながら、「平行な直線の組を同じ色でなぞりましょう。」といい、図形の仲間分けを恣意的にさせたり、「2種類（長方形、三角形）の色の違ったカラーシート（これと類似の型紙）を重ね合わせる活動を通して、平行な組を持つ四角形と、持たない四角形をやはり恣意的に作らせる活動を行っている。」、身の回りから取り立たせるのは、一応の説明が終わった後に行っている。
　四角形の対角線は、昭和の教科書では4年上で簡単に（1頁）触れながら、5年上（7頁）で、三角形の内角の和、平行四辺形の対角線と角、ひし形の対角線と角で再度、深くある意味で論証的な内容を扱っている。これらに付随して向かい合った、隣り合った辺や角が扱われる。
　これに対して、平成の教科書（2頁）では、四角形の章の最後の2頁を使って、対角線について触れている。合同が扱えないので、「形も大きさも同じかたち」として押さえている。対角線と四角形の関係については、図を切り取らせて作業的にしたり、教科書の四角形の図に対角線を書かせ、また、対角線の図に四角形を書かせたり、対角線による四角形の分類表を作らせたりしている。昭和の教科書のように2学年に分けて、ある意味で論証的な扱いをするというよりも、体験的作業的な扱いとなっていたり、学習感想の欄に数行の感想を書かせるなどの教科書もあり、児童の主体的な学習を意図していることが分かる。

　直方体・立方体、角柱・円柱について

　昭和の教科書は、直方体・立方体を4年下で、角柱・円柱、それに角すい、円すいも含め6年上で教えている。学年を分けて類似の教材を扱うことは概念の定着という観点から優れている。直方体と立方体に関しては、展開上大きく変わることがない。辺や面の垂直、平行に関してもあまり変わらず、カラーで大判の現代の教科書の方がその分わかりやすい。
　昭和の教科書の中には、直方体を組み合わせた形で、面と辺の垂直平行を扱っているなど、多少論理的な扱いになっている。それに比べ平成の教科書の中の見取図の説明に「平行な辺は平行にかきます。」の記述があり「一目でわかる図」だけでは遠近法が入るように感ずる不安を取り除くことができる。また活用面として、「直方体のビスケットの箱の面上で最短の距離を行く」問題がある。昭和の教科書では直方体・立方体に続いて、空間の位置関係が来ており、何のためにこの学習をするか分かりやすい。また、円柱、角柱は、昭和の教科書では、展開図、見取図、平面図・立面図などとともに扱い、立体そのものを扱っているという感が強いが、平成の教科書はその辺は軽く流している印象を与える。しかしながら、底辺が三角形から六角形までの角柱で頂点、辺、面の関係を扱いオイラーの定理に触れているものもある。

　今後、現行の教科書に前回の学習指導要領に示された内容が復活してもどることになると、練習問題は、単に増加した内容分増えるだけでなく、いくつかの複合されたより高度な問題も扱われ、合わせて示されることも考えられる。
　また、昭和の問題と比べると昭和の教科書では、現行ではあまり扱わなくなった、数量と結びついた図形の問題があり、こうした内容の取扱いも今後の検討課題となるだろう。
　教科書の練習問題量については、昭和の教科書と現行の問題とは、量的にはほぼ同じといえる。参考のために、昭和52年度版と平成18年度版のB社の調査結果をあげる。

図表1－29　B社の練習問題のページ数の比較

	52年度版	18年度版
総ページ数	144	122
うち、例題等学習内容本体のページ数	96（66.7パーセント）	83（68.0パーセント）
うち、練習問題のページ数	48（33.3パーセント）	39（32.0パーセント）
・単元中又は、単元末の練習問題のページ数	19（13.2パーセント）	14（11.5パーセント）
・巻末の練習問題や特設された練習問題のページ数	29（20.1パーセント）	25（20.5パーセント）

　また、別の観点からの昭和46年版と平成18年版のC社のサンプル調査結果をあげる。

図表1－30　C社の練習問題のページ数の比較

サンプル調査	46年度版		18年度版
	大問	練習問題	大問	練習問題
三角形・四角形（2、3年）	5	4	9	5
正方形・長方形（2、3年）	4	6	10	8
いろいろな四角形（4、5年）	14	10	17	8

　以上から、問題の量はほぼ同じといえるが、これからの教科書の練習問題を考えると、練習問題量への配慮以外にも、「現行とは質の違う問題」や「前学年・前々学年の問題も混在させた練習問題群」なども考慮した問題が必要となるだろう。

　三角形、四角形の高さの記述に関して

　平成19年度全国学力・学習状況調査の算数Bの問題で、正答率が最低の18.2パーセントの問題を調べてみると、活用の場面での図形の高さに関する記述の問題が浮かび上がる。
　図形の定義は、たとえば、三角形では、「3つの直線で囲まれた図形」、四角形では、「4つの直線で囲まれた図形」となる。これらは伝統的に使われている定義である。
　しかしながら、これで高さを定義しようとすると、下のような三角形では、高さがはっきりしなくなる。

　中学年になると、この直線が辺になって、三角形は3つの辺によって囲まれた図形になる。
　しかし、高さは、通常の鋭角三角形では、頂点Aから辺BCへ下ろした垂線の長さで定義されるが、上のような鈍角三角形では、頂点Aから辺BCへ垂線が下ろせない。
　もし、辺が中学校のように線分であれば、頂点Aから辺BCおよびその延長へ下ろした垂線の長さというように言えるが、BCは素朴な（古代ギリシャ的な）直線で定義されていては、高さは、ABやACになりかねない。（実際に、中学生でもこう答える生徒はいる）

　これを避けるために、小学校では、頂点Aを通り、辺BCに平行な直線をひき、その直線の「はば」を高さと言ってこの欠点を補おうとする。

　これは、三角形ではかなり難しいので、通常では、平行四辺形で高さを定義し、次に三角形へうつる教科書が多い。

　しかし、これも小学生にとっては難しい。
　特に、平成19年度全国学力・学習状況調査では、抽象的な平行四辺形ではなく現実の地図であり、辺が道で2本線で表されている。
　また、内部に公園のような字が書いてあり、垂線をひくことを邪魔している。
　こうしたことは、実際の場面では起こりうることであるが、今回は、上記の高さに関する概念理解の難しさもあって、18.2パーセントという低率の正答率を生んだのではないかと思われる。この問題は、とにかく、何らかの形で垂線を1本ひければ正解になったと思われるが、その1本が大部分の児童が引けなかったと思われる。そうした点で、この問題は、「基礎・基本の活用」という側面と同時に、「算数の概念の記述の問題」でもあったのではないか。

　改善への提案

　低学年では、色板などを使って、三角形の色板の「へり」を指して3つの直線で囲まれた図形という言い方があってもよいが、中・高学年になったら、「2点ア、イを通ってまっすぐに引いた線を直線といいます。」とくに、「アとイのあいだの直線の部分を線分アイなどといいます。」、「直線アイは、まず点アからイまでひいた線分アイをかき、それをそのまま（両方向に）延長して作ることができます。」などとしてもよいのではないか。線分ということばが直線より難しいということはない。むしろこれを使わないで曖昧にしておくことの方が、直線と線分の意味を間違える原因を誘発することになるのではないか。
　その上に立って、「3個の点を結ぶ線分によってできた図形を三角形といいます。」、「これらの線分を辺といいます。」、「三角形の頂点から底辺やその延長線上にひいた垂線の長さを高さといいます。」とすればすっきりするのではないか。平行四辺形の高さは、辺上の点から向かい合う平行な辺へひいた垂線の長さとすれば、「平行線はどこでも、幅が同じ」を思い出せば、納得できることではないかと思われる。もちろん、三角形を先にするか平行四辺形を先にするかは、執筆者の権限にあることになろう。

　台形の上底、下底の記述に関して

　小学生にとっては、台形は色板で遊ぶ対象である。そこで気になることは、上底、下底の用語である。「下の台形のどこが上辺で、どこが下底でしょうか。そもそも底とはなんだろうか？」という疑問が生ずる。
　これは、次のように記述を変えるべきであろう。「1組の平行な辺を持つ四角形を台形といいます。」、「台形は上のように長さの違う2個の平行な辺をもとにしてできています。」、「このもととなる辺を底ということにします。（昔からの言葉にしたがって）短い底を上底、長い底を下底ということにしましょう。」、「これらの2辺の長さがたまたま等しくなったときは、もう一組の辺どうしも平行になってしまいます。このような四角形（台形）をとくに平行四辺形と言います。」

　改善に向けての方向（香川県実施学習状況調査結果から）

　平行四辺形、台形、ひし形、長方形の、正方形の意味について理解しているかを見る問題で課題が見られた。

図表1－31　香川県実施学習状況調査問題の一例

　正答率は、62.8パーセント、39.6パーセント、57.9パーセント。
誤答としては、「全て選んでいない」ものが、25.3パーセント、12.1パーセント、29.6パーセント「違う図形を選んでいる」ものが、8.0パーセント、41.4パーセント、7.8パーセント

　具体的な教材例

図表1－32　四角形を作ってみよう

図表1－33　四角形のまとめをしよう