第1章 6．「数量関係」領域における教科書記述の研究

（1）数量関係の分量比較

　平成10年告示の学習指導要領で数量関係は、小学校第3学年から第6学年にかけて位置づけられている。
　教科書分析をする際に、質的な側面と量的な側面の2つの方法が考えられる。以下では、数量関係領域が充実していたと思われる昭和40年代、50年代と現在の教科書について量的な比較をしてみたい。
　取り上げる教科書は、A社のみである。これは、それぞれの時代の他の教科書が手に入らなかったことによる。
　昭和43年告示の学習指導要領に基づく教科書として、昭和45年検定の算数教科書、52年告示の同書に基づく教科書として、昭和54年検定の同教科書、平成10年告示の同書に基づく教科書として、平成16年検定の同教科書を比較する。それぞれの総頁数と数量関係領域のページ数は以下の通りである。

図表1－26　教科書の頁数の比較

• 教科書の総頁数は小3上～小6下の8冊の頁数の和。数量関係の総頁数は、単元のみである。教科書の終わりや単元と単元の間にある練習問題等は含めてない。

　昭和54年検定教科書と平成16年検定教科書の総頁数は、ほとんど同じと見てよい。これは、昭和45年と54年の教科書がA5版であるのに対して、平成16年の教科書がB5版であるからである。しかしながら、昭和45年検定教科書と比較した場合、昭和54年ならびに平成16年検定教科書は総頁数が約2割減となっていることがわかる。
　一方、数量関係の頁数は、大幅に減少していることがわかる。これは、平成16年検定教科書では、数量関係の内容が大幅に少なくなったことが主な原因であろう。例えば、昭和45年検定教科書と昭和54年検定教科書で扱っていた、文字と式、反比例、変わり方を表す式やグラフ、場合の数やちらばり具合等の資料の調べ方が平成16年検定教科書では、なくなったことによる。
　平成10年告示の学習指導要領解説算数編によれば、数量関係領域のねらいは、「『A数と計算』、『B量と測定』、『C図形』の各領域の内容を理解したり、活用したりする際に用いられる数学的な考え方や方法を身に付けることである」という。数量関係領域の特に統計関係内容が削除されている現在の教科書は、活用を重視する今日的課題からしても、算数数学教育がねらう数学的見方・考え方の育成の観点からも問題であることがわかる。

（2）数量関係の内容の検討

　数量関係のワーキンググループでは、数量関係領域を中心として第4学年から第6学年にかけて指導すべき見方・考え方でありながら児童に身についていないものとして、比例の見方があると考えるに至った。
　用語「比例」ならびにその定義は6学年で指導される。一方で比例の見方は、算数学習の様々な場面に存在する。しかしながらそれらが暗黙のうちに用いられることもあって、なかなか顕在化しない。顕在化させないまま学習が進むためその見方が身につかず、結果的に活用できるようになっていない。以下では、数量関係以外の領域でその背景にある比例の見方について考えてみたい。
　まずは数と計算領域で考えてみる。
　乗法・除法の意味指導では、用いられる場面の前提としてあるのは比例関係である。整数の乗法・除法の意味場面から比例の見方を顕在化させ、段階的に指導していくべきと考える。以下の問題場面は、3学年の整数整数の立式場面である。

　この問題では、3123と立式して問題を解決するはずである。乗法を用いることの根拠は、3メートル買ったときのどの1メートルもその値段が312円であることを前提としている。日常生活ではまとめて購入すると1メートルあたりの値段は安くなることが多い。しかし算数では、長さが長くなっても同じ単価であることを前提に考える。言い換えれば、1メートルあたりの値段と長さが比例関係にあることを前提に乗法を用いるのである。もしもこの前提が（暗黙ではあっても）認められなければ、3123と立式して代金を求めることはしないだろう。
　これは、第5学年の整数整数の立式場面でも同じである。

　この問題を304と立式して解決する前提には、長さがn倍になれば重さもn倍になるという前提がある。この前提のもと、30グラムの重さの4等分が1メートルの重さであると考えたり、1メートルの重さを円として4メートルの代金は1メートルの4倍と考え、430として304として求めているはずである。ここでも、長さと重さが比例関係にあることを前提に除法を用いているのであって、この前提を（暗黙ではあっても）認めないかぎり304と立式することはないだろう。
　次に、量と測定領域で考えてみたい。
　5学年で学習する平行四辺形の面積公式は以下のようである。

　平行四辺形の面積公式が上のような言葉の式としてまとめられたということは、平行四辺形の面積は底辺が一定のとき高さに比例し、高さが一定のとき底辺の長さに比例していることを表しているはずである。一部の教科書は、表にまとめて規則性を確認しているが、式のよみとして、あるいは言葉の式が表す意味としてぜひとも指導したい内容である。
　このことは、6学年で学習する立方体や直方体の体積公式でも同じである。

　このように公式としてまとめられるということは、直方体の体積が縦横できまる底面積（実際は底体積）が一定のとき高さに比例し、高さが一定のときは縦横できまる底面積（同）に比例することを表しているのである。
　これは、円周率を導いた次の言葉の式においても同じである。

　実際の指導では、筒状の形の周の長さを測り、これらを表にまとめ規則性を見つける活動を行う。完成した表の縦の対応の規則を考えると、円周の長さ直径が一定の値となることに気づく。これが円周率の意味である。数学的に円周率は比例定数であり、円周の長さが直径に比例していることを表している。
　このように数量関係以外でも比例の見方・考え方は様々な場面で出てきており、これらの見方・考え方を育てる紙面構成が必要であると考える。逆に言えば、紙面構成で見せていかない限り、比例の見方・考え方を育てる意識が教員自身に根付かないのではないかと考える。
　本ワーキンググループは、数量関係領域を検討することが目的である。そこで、以下では、数量関係の領域について4、5、6の各学年で比例の見方を強調した紙面構成を提案することを意図して、現在の教科書の現状と改善案について分析してみたい。

（1）教科書記述の分析

（1）教科書記述の分析

　「割合」の導入場面での扱われ方

　教科書では、A社がバスケット4チームの勝率の比較、B社が体験学習の定員に対する希望者の比較、C社が1人のバスケットのシュートの成功率の比較から導入している。具体的な場面は以下の通りである。

〔A社〕

チーム	試合数	勝った数	星取り表（○…勝ち　●…負け）
赤	12回	6回
黄	15回	6回
青	10回	7回
緑	15回	9回

　主発問：上の表の4つのチームの中で、どのチームがよく勝っているといえるでしょうか。

〔B社〕

教室	定員	希望者
ソーセージづくり	20人	40人
パンづくり	25人	45人
ちちしぼり	15人	21人
バターづくり	15人	12人

　主発問：定員と比べて希望者の多いのはどの教室かな。

〔C社〕

○は入った。
×は入らなかった。

2月10日
2月13日
2月15日

　主発問：何日が、いちばん成績がよかったといえるでしょうか。

（2）提言

　本稿では、割合で比較するとは、2つの数量関係をそれぞれ一方の数量をもとにして相対的大きさで表す比べ方であり、もとにする量がそろっていなくても比較できるようにした点で数量の処理の仕方として上手い方法であることをさらに強調したいと考える。
　比例の見方を顕在化させる場面としては、意図的に仮定して比較する場合よりも素材に内在する場合の方が児童になじみがあると考え、以下では、ゴムの伸びを比較した展開を考えてみたい。

　ゴムの伸びは、差で比較する方法と倍で比較する方法の2つの方法が考えられる。
　差で比較するとは、「伸びた」長さを比較する方法であり、倍で比較するとは、「伸び方」を比較する方法である。これらの比較の際には、それぞれの比べ方を特徴づけるような図表示と関連づけて指導する展開としたい。以下は差で比較する場合である。

　差と対立する方法として倍で比較するがすぐに出てくるとは限らない。そこで強調したいのは、もとの長さをそろえるというアイデアである。これは差的にも倍的にも見ることができるが、倍的に見る考えの10センチメートルあたりの伸びで比較する場合で考えてみたい。
　もとにする量をそろえるには、公倍数の考えを用いてそれぞれのもとの長さを60センチメートルにそろえる考え方もあるが、ここでは、それぞれのもとの長さを10センチメートルにそろえた場合の図表示をしてみる。

　さらにこの方法から、倍の見方で比べる比べ方へと高める指導が必要である。指導の際には、10センチメートルの青いゴムが25センチメートルまで伸びるということは、20センチメートルの場合は50センチメートルまで伸びる…と考え、青いゴムはいつでも2.5倍伸びること、同様に白いゴムは2.4倍伸びることを確認したい。これらの活動の結果、以下のような図表示に表して倍の見方を特徴づけたい。

　ゴムの伸びで導入するよさは、以下の2つの点である。
  帯小数倍の比較から導入できる。
　小数倍の指導と関連付けた場合、帯小数倍の比較から導入できる点がよい。これは本専門家会議のメンバーからも指摘されていることでもある。
  比例関係を前提としていることがわかりやすい。
　白いゴムは、もとの長さと伸ばした長さに比例関係が内在している。また、差で比較することと倍で比較することを対比した場合、それぞれの比べ方の特徴がわかりやすい。

（1）「単位量あたりの考え」教科書記述の分析

（2）「単位量当たりの考え」提言

　次のように数値を変えて児童たちに考えさせてみると、差で比べる方法は可か否か、考えさせることができる。

　A室もC室も残りは2まいなので、こみぐあいは同じと判断する児童がいる。一方、公倍数を用いたり、単位量当たりを求めたりして計算すると、A室がこんでいると考える児童も出てくる。ここで、児童たちの議論が始まる。そして、大抵の場合、A室は残った2まいを6人で使い、C室は残った2まいを4人で使うことになるので、A室の方がこんでいるという結論が導かれる。この過程を、ぜひ教科書の内容に盛り込みたいところである。
　また、公倍数を用いたり、単位量当たりを求めたりして計算してもよいことに気づかせるには、次のようにどうすれば同じこみぐあいをつくることができるか、その見方を指導しておくことが大切である。

　このように図や表を使って、同じこみぐあいをつくるとはどういうことか、考えさせることが大切である。そして、比例の見方が使われていることを、教科書に掲載したいところである。
　さらに、単位量当たりを求めておくと、一方の数値を変えてもそれに対する他方の数値をすぐ算出することができるという、単位量当たりのよさに気づけるように教科書の記述を工夫したい。たとえば、A室は「たたみ1まいあたり0.75人」のこみぐあいになるが、それを使うと「たたみ16まいでは12人はいれる」というA室と同じこみぐあいがすぐに算出できることを述べておきたいものである。ここでも比例の見方に着目させたい。

（3）「速さ」教科書記述の分析

（4）「速さ」提言

　速さについては、今以上に、速さを数直線や図、表を用いてとらえやすくする記述の工夫が大切であると思われる。実際には、公式化までの過程を丁寧に扱ったり、公式の適用の仕方を身につけさせたりしていきたいものである。たとえば、3キロメートルを15分で進む速さを求めるために、次のような数直線図を用いていけるようにする。

  の数の求め方を考えさせ、合わせて印のところを求めさせながら、時間と道のりの関係を関数的にとらえさせていく。つまり、「3キロメートルを15分で進む速さ」と「6キロメートルを30分で進む速さ」「9キロメートルを45分で進む速さ」などが同じであり、時間が2倍、3倍…になれば、道のりも2倍、3倍…になることに数直線図を通して気づかせていけるようにする。そして、「道のり速さ時間」という式は単位時間に進む道のりを何倍かしたものという比例の見方と関連させて扱っていけるように、教科書の記述を工夫したいものである。
　このような記述がなされることにより、児童たちの比例の見方が育まれるものと思われる。

（田端　輝彦　青山　泰浩　八木　陽）